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Details des KGS Rangsystems

Das KGS Rangsystem basiert auf der Annahme, dass ein positiver Wert k existiert, so dass bei einer Gleichaufpartie zwischen zwei Spielern A und B die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg von A gegeben ist durch

(1) P[A gewinnt gegen B] = 1 / (1 + e^{k(Rang_B - Rang_A)})

Außerdem wird davon ausgegangen, dass die Ergebnisse verschiedener Spiele von A und B stochastisch unabhängig sind. D.h.: Wenn wir uns für die Wahrscheinlichkeit für den Ausgang einer Folge von Spielen interessieren, können wir diese durch Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen.

Z.B. wäre P[A gew., A gew., B gew.] = P[A gew.]*P[A gew.]*P[B gew.]

Weiterhin wird angenommen, dass jeder einzelne gegebene Vorgabestein angemessen berücksichtigt werden kann, indem man die Spielstärke des weißen Spielers jeweils um 1 reduziert. Ebenso wird für jeden vom ausgeglichenen Spiel abweichenden Punkt Komi ein gewisser Betrag von der Spielstärke des durch das Komi benachteiligten Spielers abgezogen.

Dieser Ansatz bringt einige Schwierigkeiten mit sich: k dürfte von der Spielstärke von A und B abhängig sein. Ferner dürfte der Zusammenhang zwischen dem durch Vorgabe tatsächlich verliehenen Spielstärkevorteil und der Anzahl der Vorgabesteine bei größeren Vorgaben nicht mehr linear sein. Einige dieser Punkte werden durch das Rangsystem berücksichtigt (so wird z.B. k von den Spielstärken von A und B abhängig gemacht), andere werden ignoriert.

Seien die Ränge verschiedener Spieler B₁, B₂, ..., B_n, bekannt. Außerdem seien k₁, ..., k_n für Partien dieser Spieler mit A gegeben. Gesucht sei der unbekannte Rang von A.

Mit gegebenem k und obiger Gleichung (1) kann für jede gedachte Spielstärke von A dessen Gewinnwahrscheinlichkeit berechnet werden.

Auf die Spielstärke von A wird nun wie folgt geschlossen:

• A spielt jeweils eine Partie gegen B₁, B₂, ..., B_n.
  Man beobachtet eine Folge R von Siegen und Niederlagen von A.
  Z.B.: R = [A gew. gg. B₁, A verl. gg. B₂, A gew. gg. B₃, A gew. gg. B₄]
• Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten dieser Abfolge wird nun mit Hilfe der Gleichung (1) beschrieben.
  Im Beispiel:

  P[R]	=	P[A gew. gg. B1] * P[A verl. gg. B2] * P[A gew. gg. B3] * P[A gew. gg. B4]
  	=	[1 + ek1(RangB1 - RangA)] * (1 - [1 + ek2(RangB2 - RangA)]) * [1 + ek3(RangB3 - RangA)] * [1 + ek4(RangB4 - RangA)]

  Die einzige Unbekannte auf der rechten Seite dieser Gleichung ist Rang_A. Nun wird Rang_A so gewählt, dass unter den Annahmen die Wahrscheinlichkeit P[R] für das tatsächliche Auftreten von R -- wir haben R ja immerhin beobachtet! -- maximiert wird. Dieser ideale Rang-Wert wird schließlich dem Spieler A als seine geschätzte Spielstärke zugewiesen.

Diesen Vorgang wiederholen wir für jeden Spieler auf dem Server. Und wenn wir fertig sind, fangen wir wieder von vorne an! Diese Iteration verfeinert nach und nach die Ränge aller Spieler auf KGS (und führt auch dazu, dass sich deren Ränge auch dann ändern, wenn sie gar nicht spielen). Eine Schwierigkeit ist, dass beständig sowohl neue Partien als auch neue Spieler hinzukommen. Auf diese Weise gelangen wir nie zu einem exakten, endgültigen Rang für irgendeinen Spieler; stattdessen iteriert KGS endlos über alle Spieler weiter, wobei es gegebenenfalls neue Partien und neue Spieler mit einbezieht.

Das System wird noch weiter verfeinert indem jede Partie eine Gewichtung erhält, die davon abhängt, wie lange diese Partie bereits zurückliegt. Außerdem erhält der Rangwert jeden Spielers einen Konfidenzwert, der aus dem Maximum der zweiten Ableitung (d²P[R]/dRang_A²) ermittelt wird. Das Gewicht einer gegebenen Partie für den Rang von A wird mit dem Konfidenzwert des Rangs des Gegners B multipliziert.

Noch etwas: An den Rang einiger Spieler wird ein '?' angehängt. Das bedeutet, dass der Rang dieses Spielers noch in Zweifel gezogen wird. Der Server weist einem Spielerrang ein '?' zu, wenn wenigstens einer der folgenden Fälle eintritt:

• Der Spieler hat noch nie gewonnen.
• Der Spieler hat noch nie verloren.
• Der Konfidenzwert des Spielers fällt unter eine vorgegebene Grenze.

Die ersten beiden Fälle sind offensichtlich: Ein Spieler A der in einer Spielfolge R nie gewinnt, maximiert seinen Wert P[R] mit einem Rang_A von -∞ wohingegen einer der nie verliert sein P[R] mit einem Rang_A von +∞ maximieren würde. Da A somit keinen berechneten Rang zugewiesen bekommen kann, weist ihm der Server einen Rang auf der Grundlage seines stärksten Gewinns oder seiner schwächsten Niederlage zu. Im dritten Fall hat der Spieler einen Rang, aber ein '?' wird hinzugefügt, um anzuzeigen, dass der Server sich bei dem gegebenen Rang nicht sicher sein kann. Z.B.: Wenn der Server lediglich weiß, dass ein Spieler einen 9k besiegt hat und einem 1k unterlegen ist, wird er A einen Rang von 5k zuweisen. Aber dieser Rang bekommt ein '?' da der tatsächliche Rang von A mit der gleichen Berechtigung irgendwo zwischen 2k und 8k geschätzt werden könnte. Wieviele Spiele benötigt werden, um das '?' zu verlieren schwankt. Im Regelfall werden jedoch 2 oder 3 Siege und Niederlagen in ausgeglichenen Spielen benötigt (gemeint sind Spiele, bei denen Komi und Vorgaben so eingestellt sind, dass beide Spieler faire Siegchancen haben).

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